大爆炸模型 /《相对论里的时空观》十三
B. 弗里德曼宇宙学方程
如图38所示，设想宇宙中一小块代表性3D空间，不失一般性，可以是一个正方体，边长为a，就是膨胀因子，体积为V，表面积为A，平均质量密度为ρ，质量为m，压力为p，能量为E。那么：
其中变量名上一点代表对时间一阶微分。在瞬间膨胀或收缩中能量守恒：
结合场方程(Exp.25)、FLRW度规(Exp.35)、和能量守恒(Exp.36)，弗里德曼在1922和1924年分别发表宇宙膨胀速度与加速度公式：
其中
和?分别为a(t)对t的一次和二次导数，/a和?/a 分别代表宇宙比例膨胀速度与加速度；/a > 0代表宇宙膨胀，/a < 0代表收缩，/a = 0代表平衡。Λ是宇宙常数，一般认为代表真空能量密度。
C. 静态平衡宇宙
借用弗里德曼宇宙学方程，我们很容易理解爱因斯坦在1917年时面对的困境。如果没有宇宙常数(Λ=0)，宇宙平均质量密度ρ > 0(正物质与辐射远多于反物质)，平均压力密度p >= 0。代入加速度公式(Exp.38)而得?/a < 0，膨胀加速度总为负，蕴含无论宇宙当前是否膨胀，未来必然收缩、最终毁灭。爱因斯坦很早意识到这点，吓得不轻，立刻凭空引入Λ > 0，强制?/a = 0。他最终目的是找到静态平衡宇宙，于是又强制
a = 0。代入膨胀速度公式(Exp.37)，发现必须k = 1。于是他在理论上锁死了各项宇宙基本参数：
爱因斯坦在1917年发表静态宇宙模型，包括上述常数及公式。其中k = 1代表宇宙必须是3D球面；a0代表一个具体宇宙大小，被称为“爱因斯坦静态平衡宇宙半径”；ρ0是静态平衡宇宙里的质量密度。即使没有实测数据或理论反驳，这个模型也显得很勉强。大约10年后，它被证伪。
D. 即使平衡也不稳定
勒梅特在1927年综合公开的星系红移与距离观测数据，推算出星系退行速度与距离之间的关系，并提出宇宙正在膨胀。同时他从爱因斯坦静态宇宙出发，提出一个简单的动态模型，证明宇宙可能进入持续膨胀状态。但这篇文章发表在一个比利时地方小刊物上，被德英主流科学界忽视。爱丁顿与合作者在1930年独立研究爱因斯坦静态宇宙的稳定性，在接近完成时读到勒梅特1927年的文章，发现后者的方程里其实已经隐含了答案。爱丁顿随后把这个结果明确提炼出来，证明爱因斯坦静态宇宙不稳定：即使宇宙处于平衡状态，只要稍有扰动，平衡也会崩溃。
爱丁顿假设宇宙平均动量忽略不计。物质都有动量，动量是矢量，物体间的动量相互抵消，宇宙内单位空间内平均动量近似0(p ≈ 0)。代入能量守恒公式(Exp.36)：
等式右侧第一项是正指数函数，典型的不稳定方程。当时间t足够长后，这个解中的第一项必然压倒第二项，所以我们可以忽略第二项，只考虑第一项的作用。即使宇宙达到爱因斯坦静态平衡，只要稍有扰动，宇宙变大一点点，δ > 0, C1> 0，宇宙开始膨胀，物质密度ρ下降，引力作用降低。但宇宙常数恒定，其隐含的排斥作用占上风，于是膨胀加剧。这个过程是个正反馈，所以宇宙按时间指数扩张。而如果扰动让宇宙变小一点点，δ < 0, C1 < 0，宇宙中物质密度加大，宇宙常数的排斥作用恒定，宇宙收缩加剧。这也是个正反馈过程，于是宇宙崩溃。如果δ与C1符号相反，在足够长时间t后，C1代表的指数项将变得足够大，逆转δ的符号。
E. 宇宙大爆炸模型
勒梅特在1927年文章里求解弗里德曼宇宙学微分方程组(Exp.37)和(Exp.38)，获得时间t与膨胀因子a(t)之间的关系表达式：
图40. 勒梅特在1927年文章里的宇宙模型，蕴含宇宙永恒，时间没有起点。
爱丁顿1930年文章问世后，勒梅特立即意识到这个模型不合理，宇宙不可能在无限长时间里处于静态平衡状态。于是他在1931年修改模型，引入两条新假设。
第一，根据观测结果，他认为实际宇宙常数要比爱因斯坦静态宇宙模型中的数值大一些，但差别很小。这个改变有观测依据，又避免了积分里出现无限大，也就避免了静态宇宙时间无限长的结果。
第二，解耦宇宙常数Λ与宇宙平均质量密度ρ。在之前宇宙学里，人们习惯于从爱因斯坦静态宇宙出发，所以假设宇宙常数Λ与宇宙平均质量密度ρ之间存在线性关系，如(Exp.39)。但他发现在宇宙很小时这个假设不合理。Λ代表真空能量密度，与宇宙大小a无关；而ρ与a高度相关。宇宙内总质量近似常数，当宇宙很小时，ρ非常高。所以他假设Λ与ρ无关。
如此修改设置后，他再找不到t(a)的简单表达式，只找到一个积分方程：
其中ρE是常数，来自(Exp.40)。不难验证，假如宇宙常数Λ取(Exp.39)中爱因斯坦静态宇宙理论值，(Exp.43)积分符号里的分母会出现0，所以上述第一个假设必要。利用数值解法求解(Exp.43)，宇宙大小的演变如下：
图41. 大图为勒梅特在1931年提出宇宙模型；小图复制图1，其中红线与大图中的绿线意义一致。
勒梅特认为宇宙有个起点，距今时间有限。1931年时量子物理已经诞生，他意识到宇宙初生时体积太小，广义相对论不适用，应该采用量子观念，但又没有完备适用的理论，于是笼统地认为宇宙始于一个原子，他称之为“太初原子”(Primeval Atom)。宇宙诞生后，最先经历迅速膨胀的爆炸期，尺寸迅速扩大；然后迎来停滞期，物质在引力作用下凝结成恒星与星系；后来宇宙又开始膨胀。当前我们处于膨胀期。这就是宇宙大爆炸理论的源头，为人类思想带来根本性改变。将勒梅特1931年模型与NASA最新模型相对比，不难发现宇宙学已有长足发展，但他当年设立的大框架依然有效。总体讲，后世宇宙学只是将他开创的革命性科学观念细致化。