三强韩赵魏，九章勾股弦

航海者一号（Voyeger I）告别人类，进入宇宙深处，不胜唏嘘，以旧文一篇纪念。

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科学家在考虑如何通过数学与外星系文明交流时，第一个想到的就是勾股定理，他们认为这是文明社会数学发展的基础。

――题记――

50年代初，著名科学家钱三强率团出国考察，团员有华罗庚，赵九章，贝时璋等人。旅途闲暇，有人拟了“三强韩赵魏”上联求对，华罗庚以“九章勾股弦”答对。这上联 “三强”既是钱三强的大号，也是战国时期韩赵魏三国的简称, “九章”是我国古代数学著作，其中首次记载了我国数学家发现的“勾股定理”，又刚好是代表团成员著名物理学家赵九章的大号。

“三强韩赵魏，九章勾股弦”, －求—答真是天衣无缝，珠联璧合。

勾股定理描述了直角三角形三条边之间的定量关系，即两条直角边的平方和，等于斜边的平方，其应用日常生活中随时可见。比起费尔马猜想，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等，这只能算是下里巴人了。它很早就被《九章算术》记载，至少在那时就不是猜想，而是定理了。但对于非专业人士及大部分专业人士，它的重要意义远远超过上面诸位阳春白雪。历史上最早关于无理数的讨论，就起源于边长为一的正方形的斜边，sqrt(2)。费尔马猜想，或称“费尔马大定理”，起源于勾股定理的整数解，约20年前由普林斯顿（Princeton）大学的Wiles 教授解出，从而真正成为定理。

科学家在考虑如何通过数学与外星系文明交流时，第一个想到的就是勾股定理，他们认为这是文明社会数学发展的基础。尽管有人担心外星人所在是非欧空间，勾股定理在那儿不成立，但我总觉得这有点杞人忧天。能找到外星人就不错了，还管它什么空间，这非欧空间没准是爱因斯坦（Einstein）这老头用来吓唬咱老百姓的。就象人们说鬼最容易画，反正没人见过。在金亚伟先生的帮助下，我查阅了美国航海者(Voyager)太空飞船携带的金牌上的116条信息，勾股定理不在其中。为什么科学家最后没有采纳这一极富想象力的建议，我查找的文献中没有记载。

在设法与想象中的高度文明的外星系人类交流时，科学家想到了勾股定理。在对小朋友进行启蒙教育时，科学家也想到了勾股定理。加拿大多伦多（Toronto）有个著名的科学馆，是对小朋友进行科普启蒙的好地方。那儿大部分展览都是关于物理、化学、生物的，我记得唯一的数学“展览”就是一个勾股定理的演示装置。三个正方形的各一条边构成一个直角三角形，斜边是水平的。三角形绕着斜边大约每两分钟转一圈，先转半圈，斜边上大正方形中的彩色液体缓缓流入直角边上的两个小正方形，将它们同时灌满。接着马不停蹄，又是半圈，两个小正方形中的液体同时流尽，将大正方形灌满。数学“展览”确实比实验科学困难得多，但也绝非就此一种可能。在人类的数学宝藏中，科学家们又选中了勾股定理向小朋友推荐。

      文革中的《十万个为什么》言必称工农兵，固然不可取。但这勾股定理，确实和日常生活有着相当密切的关系。文革前的旧版《十万个为什么》，有这么一个问题:有一块地，10.5米长，4.5米宽，要在上面种果树。果树要求间距一米，问能种几棵果树。最简单的种法是长边种11棵，种5排，共55棵。但我们还能在保持间距的前提下多种些。第一排还是种11棵，第二排种10棵，每三棵形成一边长为一米的等边三角形。这时候两排树的间距可用勾股定理很容易算出。1² - (1/2)² = 3/4，再开平方根，得0.866。乘5得4.330，所以正好种6排。这样就可种21×3 = 63棵，而间距一米的要求照样满足。同样的土地，一共多种了八棵，15%，“知识就是力量”，真是一点不假。

以后我去了东北农村，每年春天都要种树，大概因为东北地广人稀，不在乎这一点地，所以从没见老乡这么种法。后来看了电影《决裂》，我庆幸自己没有贸然向老乡推荐这三角形种树，否则电影里就是我而不是葛优的爸爸了，“马尾巴的功能”大概也会被“三角形种树”取代[注]。不过在农村六年，我真还应用过一次勾股定理。

1972年夏天我去修国防公路，大家住在一个大帐篷里，伙房是个草席搭的棚子，面粉袋被雨淋湿是常有的事。经过领队同志的多次争取，上级给批了一片七八米宽且相当长的破帆布。经过多次研究，大家决定把这帆布作为前后墙兼屋顶，伙房的一端和大帐篷连在一起，这样可以省一堵墙，另一端则用草席补上。这片帆布实在太破，所以领导就决定把房顶的三角型搭得尽可能高，用坡度来减少屋内下小雨的可能性。到底多高，筑路营的技术员说没有数学用表没法算。

      我们大队在筑路营的小组长也是个知青，他就把这事给揽了下来，让我来算这帐篷该多高。其实这比技术员想象的要简单的多，
      帆布长 = (帐篷墙高 + 屋顶斜面) × 2
因为帐篷墙高 (即大帐篷高度) 和帆布长已知，屋顶斜面马上就知道，因为前后墙距离与大帐篷一样，所以屋顶三角形的底也是知道的，剩下的就是用勾股定理算出三角形高度。屋顶是用两边各两根很长的杨木杆撑起的，再来次勾股定理就可算出杨木杆的长度。这里有个技术问题，应用勾股定理需要开平方根，前面已经说过没有数学用表，当时哪会有现在中学生人手一台的计算器。很幸运，我会手算，我也忘了是在哪本书上从什么时候学的。当技术员看到我这小学生口中念念有词，用一支笔一张纸开平方根，其惊讶程度绝不亚于哥伦布发现新大陆。一切就绪，杨木杆撑起来，横梁放上去，破帆布往上一搭，两边正好着地。欢呼声顿时响起，绝对超过了不久前东方红卫星上天时的欢呼声。插队六年，这恐怕是我最得意的一天了。

至于勾股定理在日常学习中的运用，就更是不胜枚举。好几年前，我自告奋勇给一位小朋友出些高考复习题。我的选题标准是涉及概念较多，能够举一反三的物理和数学综合题。我选的第一题就是用圆规直尺作正五边形，作五角星也是一样的。这题目我在《数理化自学丛书》碰到过，当年做不出，是请汪正彦老师做的。题目送出去后，过了几个星期要给解答了。汪老师的开始几步我还记得。

设有 ?ABC，∠CAB = ∠CBA = 72?，∠ACB = 36?。

在AC 上取一点D，使∠ADB = 72?，于是?DBA和?ACB相似。再往下就象祝家庄的盘陀路，怎么都绕不出来了。汪老师的解答相当长，练习本三页不到一些，我想即使我全部记得，推荐给小朋友恐怕也非上策。经过一阵子冥思苦想，我想到了老朋友勾股定理。我把思考过程略去，直接给解答。线段AB用AB表示。

∵ ?DBA ∽ ?ACB，CA = CB

∴ AB/AD = AC/AB ==〉AB/（AC-CD）= AC/AB

∵ ∠CDB = 180 - 72 = 108? & ∠DCB = 36?

∴∠DBC = 36? ，CD = DB = AB

设AC = 1，CD = x。

x / (1 - x) = 1 / x

x = (sqrt(5)- 1) / 2

现在只要用圆规直尺作出边长分别为1和2的直角三角形，根据勾股定理，斜边就是 sqrt(5)。接下来的步骤大家都会，我就略去了。

看了上面的例子，读者可能还认为勾股定理只是一样雕虫小技。看过下面的例子，我相信大部分读者会改变这一看法。1979年上海市高考的数学考卷中有一题，就是证明勾股定理。文革后百废待兴，大概老师们借此机会来强调一下数学的重要性，强调一下勾股定理的重要性。此题有多种解法，但下面这两种显然最为简洁。

（勾股定理插图）

这两个正方形的构成，都用到了三角形内角和等于180度这一事实。就是说，如果这平面几何的基石，或基石之一不成立，勾股定理就不会成立。反过来，如果勾股定理不成立，这两个正方形中，四个三角形和小正方形就不可能拼接得如此天衣无缝。由此，我们就不难理解为什么数学家在试图与外星人通讯时，会想到勾股定理。我们也从中发现，“杞人”们的担心，也并非空穴来风。在三角形内角和不等于180度的非欧空间，这“天经地义”的勾股定理还真是不成立的。

[注]电影《决裂》为了丑化知识分子，特意安排了老教授在课堂上讲授“马尾巴的功能”，扮演老教授的演员就是葛优的爸爸，著名演员葛存壮先生。