“难题”（1）-- “简单”的极限题（解答）

我几十年前的梦想是读数学系，因故未能如愿。现在决定跟随一位数学系大一学生，和她一起做回家作业，过一把干瘾。基础课应该不用看教科书，以后专业课就不敢说了。

有些题目，单靠教科书的现成公式是做不出的，还需要一些额外的技巧或老师的提示。我选取一些这类题目与大家分享。我采用如下格式：先贴出题目，两天后贴出解答连带题目。这种题目不是每次都有，所以（2）什么时候出来我也不知道。这种题目，找到诀窍以后，应该不会很繁复。如果你的答案繁复无比，大概就不是我的“标准答案”了。

题目：用?和δ的定义证明x² 在x 趋于n时极限为n²。就是说，任给?>0，我们总能找到 |δ|>0，当|x-n|≤δ， |x²-n²| 。这儿n是任意正整数。

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我们先证明如果?≥2n+1，我们能找到相应的δ。令x=n+δ。

| x²-n²| = |2nδ+δ²| ≤ |2nδ |+| δ²|

只要选0<|δ|<1

| x²-n²| ≤ |2nδ |+| δ²| < 2n+1 ≤ ?（∵ ?≥2n+1）。

现在考虑?<2n+1。选取δ=?/（2n+1）< 1 （∵ ?<2n+1）。

- δ ≤ x-n ≤ δ è -1 ≤ x-n ≤ 1 （∵ |δ|<1）

è 2n-1 ≤ x+n ≤ 2n+1

è |x+n|≤ (2n+1)

当|x-n|≤ δ

| x²-n²| = |(x-n)(x+n)|

= |x-n||x+n|

< (?/(2n+1))*(2n+1) = ?

这道题目，原型是证明x²在x=4的极限是16。老师给了提示，我觉得很巧妙， n²代替了16。

在大一上高等数学课程时，老师在教授完洛必塔法则后，来了个自问自答。用洛必塔法则求极限是如此简单，我们为什么还要辛辛苦苦去学习这极限过程，去学那些?和δ。

洛必塔法则用到了求导公式，不学极限理论，我们怎么得出这些求导公式。在人工智能（AI）日益猖獗的今天，这句话或许会给你带来一些不一样的思考。