【圆周率π】与斐波那契数

发表时间：2023-05-11 13:37

【圆周率π】与斐波那契数

我经常在想：人们是怎么发现一个圆的周长与它的直径的比例（即圆周率）是一个定量，使得人们可以把直线与曲线的关系连在了一起。

计算圆周率 π 方法非常多。从最初的“割圆术”：把一个圆的内接正多边形的边数不停地加倍，使得形成的新多边形逐渐地接近圆，从而根据旧正多边形和新正多边形之间的边长或面积关系来求得 π。

利用三角函数、微积分、泰勒【Taylor】展开式、连分数，或几何概率，等等，都可以计算出 π 的小数点后的无限个位数。

需要要提一下BBP【Bailey–Borwein–Plouffe】公式：

更神奇的是那位自学成才的印度怪才数学家拉马努金(Srinivasa Ramanujan，1887-1920)，不知道他怎么鼓捣出来的计算π的公式，现在居然成为用计算机计算π 成万上亿位数的主要公式。【可惜他英年早逝！】

斐波那契【Fibonacci】数列，亦即那个与兔崽子有关的数列，也可以与π联上关系。

大家知道，各个三角函数有它们对应的反函数。

例如，众所周知，45度角（即π/4 弧度）的正切是1，即 tan(π/4) = 1。

故π/4 的反正切函数 arctan (1) = π/4。【arctan 也写作 tan-1】。

类似地，正弦、余弦、余切等三角函数，也有它们的反函数。

伟大的数学家欧拉【Leonhard Euler，1707-1783】证明了以下关于两个反正切函数之和的公式：

当 arctan(a/b) + arctan (c/d) 的结果在 [-π/2, π/2] 之间时，有以下结果：

arctan(a/b) + arctan (c/d) = arctan [(ad+bc)/(bd-ac)]

这个公式利用大家熟知的两个角的正切和的公式和反正切函数的定义，不难证明。

现在的问题是：

已知斐波那契【Fibonacci】数列是：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,……

利用上面这个反正切函数之和的公式，不难算出：

arctan (1/2) + arctan (1/3) = arctan (1) = π/4

如果把斐波那契【Fibonacci】数列的第1位数字记作F(1)，第2位数字记作F(2)，……，第(2n+1)位数字记作F(2n+1) 【n=1,2,3，……】，能不能证明：

arctan (1) = π/4 = arctan [1/(F(3))] + arctan [1/(F(5))] + arctan [1/(F(7))] + ……+ arctan [1/(F(2n+1))] + ……

【n=1,2,3,……】

按照上面的斐波那契【Fibonacci】数列，可以知道：

F(3) = 2，F(5) = 5，F(7) = 13，F(9) = 34，……

注】

1】斐波那契【Fibonacci】数列的通项公式是：F(n+2) = F(n+1) + F(n)【n是正整数】。

2】斐波那契【Fibonacci】数列的Binet公式，是它的另一种通项公式，见：