【复数】16a23 设复数 w=a+bi，i^2=-1，
作者：gugeren+-
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其中a是w的实数部分，用Re(w)表示；b是w的虚数部分，用Im(w)表示。|w|表示w的模 (magnitude)。
已知z是复数，且有|z^2 + z + 1| = 4。求z的虚部的最大值。
其中a是w的实数部分，用Re(w)表示；b是w的虚数部分，用Im(w)表示。|w|表示w的模 (magnitude)。
已知z是复数，且有|z^2 + z + 1| = 4。求z的虚部的最大值。
解：
z^2 + z + 1 = (z+1/2)^2+3/4
设 z=x+iy.
(z+1/2)^2+3/4 = ((x+1/2) + iy)^2+3/4 = (u+iy)^2 +3/4
式中u=x+1/2.
|(u+iy)^2 +3/4|=|(u^2-y^2+3/4) +i 2uy|
按题意，
(u^2-y^2+3/4)^2 + 4u^2y^2 = 16 (1)
求导 d(1)/du:
2(u^2-y^2+3/4)(2u - 2yy’)+ 8uy^2 +8u^2yy’=0
令y’=0得
(u^2-y^2+3/4)(4u)+ 8uy^2 = 0 (2)
(u^2-y^2+3/4)+2y^2 = 0 (3)
代入(1)得
4y^4 + 4u^2y^2 = 16 (4)
化简(3)得
u^2 = -(y^2+3/4)
代入(4)得
-3y^2=16
无解。那就是从(2)到(3)我们假定u<>0不合理。令u=0代入(1)得
(-y^2+3/4)^2 = 16
-y^2+3/4 = +/- 4
y^2 = 3/4+ 4 = 19/4
y = +/- sqrt(19)/2
z的虚部的最大值是sqrt(19)/2