【平方数和等差数列】
作者：gugeren+-
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设S(n)是前n个自然数之和，也就是1为首项、公差是1的等差数列。
已知当n=1、8和49时，S(1)、S(8)和S(49)都是完全平方数，分别是1、36和1225(35的平方)。
求下一个最接近1225的也是完全平方数的 S(n)。
设S(n)是前n个自然数之和，也就是1为首项、公差是1的等差数列。
已知当n=1、8和49时，S(1)、S(8)和S(49)都是完全平方数，分别是1、36和1225(35的平方)。
求下一个最接近1225的也是完全平方数的 S(n)。
解2:
问题可以写成求
n(n+1)/2=k^2 (1)
整数解问题。也就是求
n(n+1) = 2k^2 (2)
整数解问题。
我们要找到两个大于5的数，a, b。b^2接近a^2的2倍，且
2(a^2) 与 b^2相差1。枚举得到，12，17
12^2=144, 17^2=289
2(12^2) = 288
这样，n = 288, k = 12(17) = 204
代入（1）得
S(288) = 204^2
解：
问题可以写成求
n(n+1)/2=k^2 (1)
整数解问题。也就是 n^2+n-2k^2 =0 整数解问题。根据求根公式
n = [sqrt(1 + 8k^2) -1]/2 (2)
先要找到k使得1 + 8k^2是完全平方数。也就是说，要
8k^2 = m(m+2) (3)
先讨论S(49) = 35^2:
8k^2 = 8(5^2 7^2) =(4)(2)(5^2)(7^2)
(4)(5^2) = 100, (2)(7^2) = 98
这样，m = 98。所以，我们要找到两个数，a, b。b^2接近a^2的2倍，且
4(a^2) 与 2(b^2)相差2。枚举得到，12，17
12^2=144, 17^2=289
4(12^2) = 576, 4(17^2) = 578
m = 576
代入(3)，再代入(2)得：
n = [sqrt(1 + 576(578)) -1]/2 = 288
结果是S(288) = 204