液体放在匀速旋转的桶里，液体的表面曲线方程与桶底形状的关系

液体放在匀速旋转的桶里，液体的表面曲线方程与桶底形状的关系。
首先要假定液体任何质点对桶轴的角速度都相等。角速度 = w。液体的密度 = k。液体的表面曲线方程为y。
把桶放在直角坐标系中。水桶中轴与Y轴重合。水桶底的圆心与原点重合。又假设水桶的底是锥形的，斜率为n。用Z=0的平面和Z=dz的平面把水银割成薄片。再用X=x的平面和X=x+dx的平面把薄片割成细条。其中，x, x+dx都小于水桶的半径。在Z=0的平面，水桶底的表达式是
y1 (u) = n(u-x)                       (1)
细条的体积是
dxdz(y(c)-y1(c))                     (2)
其中c是x, x+dx之间的某点。细条的质量 dm = dxdz(y(c)-y1(c))k。
m受到的向心力是
f = dxdz(y(c)-y1(c))kw^2c2
式中c2是细条的质心。细条左面受到的压力
f(x) = S(0,y(x))[dz k gh]dh = dz kgy^2(x)/2
细条右面受到的压力
f(x+dx) = S(0, y(x+dx)-ndx)[dz k gh]dh + dz kg S(x, x+dx)[y(u)-n(u-x)]nd(u-x)
式中第二项是细条底部受到桶底的压力在X方向上的分量。
f(x+dx) = dz kg (y(x+dx)-ndx)^2/2 + dzkg (y(c)ndx - n^2dx^2/2)
= dz kg (y^2(x+dx) + n^2dx^2 - 2y(x+dx)ndx)/2 + dzkg (y(c)ndx - n^2dx^2/2)
由f(x+dx) - f(x) = f 得到
[f(x+dx) - f(x)] /dx = dz(y(c)-y1(c))kw^2c2
[f(x+dx) - f(x)] /dx = dz kg [(y2(x+dx) - y^2(x))/(2dx) - y(x+dx)n + y(c)n]
g [(y2(x+dx) - y^2(x))/(2dx) - y(x+dx)n + y(c)n] = (y(c)-y1(c))w^2c2

令dx 趋近于0，有c->x,c2->x, y1(c)->0, 并化简后得
g (y dy/dx ) =  yw^2x
微分方程的解是 y = w^2x^2/(2g)+C                           （3）
这个表达式说明，液面形状与桶底形状无关。
知道这个事实后，如果两种比重不同，不相溶解的液体放在匀速旋转的桶里，每种液体的表面曲线（面）方程都可以用（3）表达，只是其中的常数不同。