费马大定理-铺平道路

作者:天蓉
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怀尔斯证明了什么?人们都说怀尔斯证明了费马大定理,但是实际上,他证明的是 “模性定理”的一部分,就是我们在上篇中介绍的,原来叫“谷山-志村猜想”的那个。为什么证明了这个猜想就算证明了费马大定理呢?这是因为,有好几位数学家已经为通往费马大定理铺好了路……

1,儿时梦造就大师

今年的诺贝尔物理奖得主之一,是人工智能教父辛顿。据说他在少年时代就立志要弄懂“大脑是如何工作的?”,几经坎坷,他终于走到了正确的道路上并作出卓越的贡献。这样的事在科学史上屡见不鲜:爱因斯坦相对论的思想,也是源于他儿时的想象:如果自己骑在“光线”上旅行的话,对时间将有何种感受?

1922年,9岁的图灵读到一本《儿童应知道的自然奇观》,书中有句话“人体也是一台机器”,令儿时的图灵震撼,影响深远!他决定要探究人与机器之关系,最后愿望终于实现。四十年之后的1963年,我们的主角,10岁的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles1953-)初识费马大定理!一天,他偶去图书馆,翻看叫《大问题》的一本书,在书中邂逅了它!不料从此后怀尔斯便与其结下不解之缘。令怀尔斯颇感奇怪的是,这个定理很容易陈述,十岁的他就能理解,但却从来没有人证明过!这让他着迷,激发他的好奇心和好胜心,并且,他似乎当年就知道自己永远不会放弃它,必须解决它!

怀尔斯出生于英国剑桥,父亲原来是牧师,后来成为牛津大学神学教授。

怀尔斯后来就读于剑桥大学国王学院。1974 年,怀尔斯在牛津大学默顿学院获得数学学士学位。从 1975 年夏天,怀尔斯在约翰·科茨的指导下开始他的研究生阶段。他们一起用岩泽理论的方法研究椭圆曲线的复数乘法算法。他进一步与巴里·马祖尔合作研究了有理数上岩泽理论的主要猜想,不久之后,他将这个结果推广到全实数域。

1980 年,怀尔斯在剑桥大学克莱尔学院获得博士学位后,到新泽西州普林斯顿高等研究院任职,并于 1981 年成为普林斯顿大学数学教授。

怀尔斯的潜意识深处,总藏着费马猜想。但是,从70年代在剑桥大学开始,他就一直专门研究椭圆曲线,也取得不少成果,不过这看来与费马大定理没什么关系哦。

此时,两位日本数学家也已经提出了他们的猜想,并且,在美国的法国数学家韦伊(André Weil1906-1998)的一篇论文将此猜想介绍到了西方,使得广为人知,韦伊还为猜想提供了概念性的证据,因此也被称为“谷山-志村-韦伊猜想”。该猜想企图将怀尔斯正在研究的椭圆曲线方程与模形式联系在一起。但没有人能证明这个猜想,即使被证明了,与费马大定理也没啥关系啊。

怀尔斯意识到自己的数论知识太有限了,也许要放弃这个儿时的梦想?历史的脚步很快就走到了80年代,怀尔斯33岁了。想不到这时候,数学界有几篇文章,引起了怀尔斯的注意,终于有人将费马的最后猜测,与他熟悉的椭圆曲线联系起来了!

2,弗雷曲线

格哈德·弗雷(Gerhard Frey1944-)是德国数学家。他的研究领域是数论和丢番图几何,以其在数论方面的工作而闻名。他同时也研究椭圆曲线密码学,或许正因为如此,他第一个将费马猜想与椭圆曲线联系起来。

弗雷假设,如果费马方程有解,那么他就可以从费马方程的所谓解,构造出一个椭圆曲线。

弗雷几年前就研究过类似的曲线,现在他注意到该曲线具有不寻常的性质,可能不是“模的”!这条曲线后来被称为弗雷曲线11985年,弗雷猜想这个费马大定理的反例将创造出一条非模的曲线,这样就在费马和谷山-志村猜想之间架起了一座桥梁。因此,弗雷提出谷山-志村猜想可能蕴含着费马大定理,这个想法引起了广泛的兴趣,也重新点燃怀尔斯儿时要“攻克费马最后猜想”的心灵之火。

怀尔斯当然暗地里兴奋不已,似乎费马大定理的证明有希望了:首先需要证明模定理,其次需要证明弗雷的直觉是正确的。

3,塞尔和黎贝

弗雷的研究虽然引起了一些关注,但距离费马大定理的证明还有十万八千里!因为上面说的都是猜想,这个猜想连着那个猜想,猜想都解决了,费马大定理才能解决。特别是那个谷山-志村的“模猜想“,当代的数学大师们都普遍认为这是无法证明的,太难了!至于弗雷的猜想,他只是给出了一种说法,说”这是可行的“,但没有给出完整的证明,弗雷并没有严格证明自己的猜想。

不过,不久之后,法国数学家让-皮埃尔·塞尔(Jean-Pierre Serre1926-)参与进来了2。他明确了弗雷所猜测的联系(图1中的蓝色箭头),又提出了一个ε猜想。并近乎完整的证明了:如果证明了谷山-志村猜想,又证明了ε猜想,那就意味着证明了费马大定理(图1棕色虚线)。

-皮埃尔·塞尔主要贡献的领域是拓扑学、代数几何与数论。他曾获颁许多数学奖项,包括1954年获得的菲尔兹奖。当时他年仅28岁,是至今最年轻的菲尔兹奖得主。他2000年获沃尔夫数学奖,2003年获阿贝尔奖,是阿贝尔奖的首个得主。他与格列戈里·马尔古利斯并列数学界“三大奖项”大满贯得主。

那好,现在所需证明的头绪清楚了:费马大定理=谷山-志村猜想+ε猜想。那么,塞尔的ε猜想说些什么呢?它的意思是说,如果与椭圆曲线相关的伽罗瓦表示具有某些特性,那么该曲线不能是模形式的。这儿的“伽罗瓦表示”,以及“某些特性”是什么特性,涉及太多的复杂数学概念,我们就无法深究了。总而言之,塞尔已经确保扫清了其它所有的障碍,只剩下“”和“ε”两个猜想了。

这时,又一位叫黎贝的数学高手登场了,他解决了ε猜想3(黎贝定理),为最后证明费马大定理铺平了道路。

肯尼斯·黎贝(Kenneth Ribet,简称肯·黎贝,1948-),美国数学家,目前在柏克莱加州大学任教,研究领域涉及代数数论与代数几何。

1:证明FLT

黎贝出生于纽约布鲁克林,父母均为犹太人。黎贝在法拉盛高中读书时,加入了竞争激烈的数学队,但他本科最开始学习的领域是化学。黎贝1973年从哈佛大学获得博士学位后,在普林斯顿大学任教三年,之后于1978 年,加入加州大学伯克利分校数学系。

黎贝于1986 年证明了ε猜想,所以现在它被叫做黎贝定理。此外还有至关重要的是,它还表明,为了证明费马大定理,不需要证明完整的谷山-志村猜想,只需证明一个特例,即半稳定椭圆曲线满足猜想,就足够了。弗雷曲线就是这种“半稳定椭圆曲线”。

而弗雷提出的联系也由黎贝证明了:如果用费马方程的解作为一组数,以这种方式构造椭圆曲线,则得到的椭圆曲线不能是模的。

所以,现在只剩下找出最后一个钥匙:只要能对“半稳定椭圆曲线”证明谷山-志村猜想,就自动证明了费马大定理。因为如果所有半稳定椭圆曲线都必须是模的,而黎贝定理又表明,费马方程的解创建的半稳定椭圆曲线是非模的。这两个陈述唯一可能为真,就是费马方程没有解,这样就无法创建这样的曲线。

不过,找到最后一个钥匙很难。30年来,所有企图证明谷山-志村猜想的努力,都以失败告终,即使是黎贝也说:“我甚至没有想到过要去试一下证明它”。大多数数学家都认为这是一块搬不动的大石头。

参考资料:

1Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae,

2Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230

3Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476.



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  • 没有用的:费马大定理证明了全世界数学家都是白痴

    https://blog.creaders.net/u/15205/201811/335501.html

    摘要:费马大定理是一个主项为集合概念的命题,只能是对不同

    的变量n去一个个地解决,因为世界上所有的数学定理的主项都是普遍

    概念或者单独概念。世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。

    国际数学界对费马大定理的证明错误百出,一无是处!它不仅仅违反了

    三段论公理,还错误地使用反证法,反推时没有逆行传递性,表明整个

    国际数学界缺乏正确的逻辑思维。费马大定理与黎曼猜想的主项都是

    集合概念,一个是水中月,一个是镜中花,都是无法一次性证明的命

    题(为什么要强调“概念”?高斯说“在数学中最重要的不是符号,

    而是概念”)。

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      关键词:费马大定理,集合概念,三段论公理


          一,预备知识:数学命题的主项必须是普遍概念或者

    单独概念

      全世界的数学定理的主项都是普遍概念或者单独概念,世界上

    没有任何一个数学定理的主项是集合概念。


             1, 概念的种类

    (1),单独概念和普遍概念

        a,单独概念,反映独一无二的概念,单独概念的外延只有

    一个。例如,上海,孙中山,,,。它们反映的概念都是独一无二的。

    数学中的单独概念有“e”“Π”。“e是超越数”就是一个单独概念的

    命题。

        b,普遍概念,普遍概念反映的是一个对象以上的概念,反映

    的是一个“类”,这个词项的内涵由为了包含在词项外延所必须具有的

    事物的性质组成。就是说,普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的

    基本属性。例如:工人,无论“石油工人”,“钢铁工人”,还是“中

    国工人”,“德国工人”,它们必然地具有“工人”的基本属性。数学

    中的普遍概念有例如“素数”,“合数”,等。“素数无穷多”就是一

    个普遍概念的命题。数学证明对象全部都是普遍概念或者单独概念。


    (2),集合概念和非集合概念。

    a,集合概念反映的是集合体,这个词项的外延由词项所应用的事物集

    合组成,例如“中国工人阶级”,集合体的每一个个体不是必然具备集

    合体的基本属性,例如某一个“中国工人”,不是必然具有“中国工人

    阶级”的基本属性。集合概念的命题是不需要证明的,也是无法证明的

    ,只能是归纳总结。

    b,非集合概念(省略)。

    2,为什么数学证明的对象只能是普遍概念或者单独概念

    这是因为数学家的武器级别都是一个“类”,即:定理,公理都是普遍

    概念,只能攻击同样级别的命题主项。而“集合概念”是一群类,是一

    群普遍概念。就好比一个人无法战胜一群敌人,而这个一群有可能是无

    穷多个类。

    这个问题也影响了希尔伯特第十问题:不定方程有无整数解的判定是否

    可行。增加了一个结论:主项是集合概念的命题不能证明是可以判定的。

            

       二,费马大定理的主项是什么概念的命题

        1,费马大定理是一个集合概念的命题

        .....(1)

    对于>2的自然数,费马说没有 整数解,由于n=3, 4, 5, ...以致无

    穷,当然属于集合概念,应该从=3,4, 5,....逐一证明。那么,安德

    鲁怀尔斯和其他数学家共同完成的证明是否成立?

        2,转换命题

          请注意他的证明方法,他证明的是:假如存在一个反例

    ,注意,反例只要一个就够了,

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    格哈德.弗赖将方程(1)转换成

    为一个普遍概念的椭圆曲线方程:如果费马大定理是错误的,那么,至

    少有一个解,


    经过一系列演算程式,使得这个假设

    解(反例)的费马方程变成:


    ,,.......(2) 


    他指出这里实际上是一个椭圆方程:


    ,,......(3)


    注意,(3)式是一个普遍概念。所有的椭圆方程都具有这个性质。

    椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线,它的(仿射)方程,通常称为

    维尔斯特拉斯方程,可以写成(3)式。


                  三,错误的逻辑

        看看那些所谓的数学家们是怎样推导的(费马大定理—一个

    困惑了世间智者358年的谜):


    费马大定理有反例则弗赖椭圆曲线方程成立。


    弗赖椭圆方程不能模形式化(肯.黎贝1985年证明了弗赖椭圆方程不能

    模形式化)。


    谷山志村猜想断言每一个椭圆方程都可以模形式化。

    v2-c8a56bf73be3dc4428a9329d3ded5951_720w.jpg


    因此得出结论:弗赖方程不能成立(即原先假设的反例不能成立),所

    以费马大定理成立。


    上面的推理错误百出,因为:

    三段论:

    大前提:(谷山——志村断言)每一个椭圆方程必然可以模形式化

    (全称肯定判断A)。

    小前提:弗赖椭圆方程不能模形式化。(肯.黎贝证明了这个

    问题)


    结论:(只能得出)

    1,所以弗赖方程不是椭圆方程(特称否定判断O)。

    2,谷山志村猜想不能成立。

    就是说,肯黎贝定理与谷山志村猜想只能有一个正确,一个错误,不会

    两个都是正确的。


    并且,国际数学界的推理还违反了演绎推理三段论的规则:

    大前提:存在否定费马大定理的反例-弗赖椭圆曲线方程。【特称判断】。

    小前提:弗赖椭圆方程不能模形式化(即弗赖方程不能成立)【否定判断】。

    结论:费马大定理成立【全称肯定判断】。

    根据逻辑规则:1,如果大前提是特称判断,小前提是否定判断,不能

    得出结论。2,在两个否定的前提中不能得出结论。3,(一共有8条)。所以费马大定

    理成立的结论是荒唐的。


              四,费马大定理与谷山志村猜想的关系

        弗赖方程只有被模形式化,谷山—志村猜想才与费马大定理

    是交叉关系,费马大定理才可能有反例,并不是必然有反例。

      如果弗赖方程不能模形式化,费马大定理与谷山志村猜想是反

    对关系。

    肯.黎贝定理(弗赖椭圆方程不能模形式化)与谷山志村猜想(每一个

    椭圆方程都可以模形式化)只能有一个是正确的,一个是错误的。


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        就是说,弗赖方程无论是否可以模形式化,都推不出费马

    大定理是成立或者不成立。为什么?因为:

      概念间交叉关系,是一种对称关系,是一种非传递关系,谷山志

    村猜想对与错都不能传递到费马大定理的对与错;

      概念间的反对关系是一种对称关系,是一种非传递关系,谷山志村

    猜想对与错都不能传递到费马大定理的对与错。

    (概念之间的关系是中国政府公务员历年考试题目,有1000万中国青年

    习过这个内容,绝大多数考试的中国青年不会搞错,下面是概念之间逻

    辑关系)

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          五,违反了三段论公理

    国际数学界的推理违反了三段论公理。

    根据,三段论公理:

    凡是对一类事物性质有所肯定,则对该类事物中的每一个分子的性质也

    应该有所肯定;

    凡是对一类事物性质有所否定,则对该类事物中的每一个分子的性质也

    应该有所否定。

    从概念的外延方面看,

    v2-be0052b644496aac8d2628057114dc82_720w.jpg




    图1表示:s类包含于m类,m类包含于p类,所以,s类包含于p类;

    图2表示:s类包含于m类,m类与p类全异,所以,s类与p类全异。

    三段论公理的客观基础就是类与类的包含关系和全异关系,是人类

    亿万次重复实践中总结出来的不证自明的性质。


    我们设图中的:

    M = ,,即(3)式;


    S =, 即(2)式,

    如果M具有性质P(模形式化),S却不具有性质P,得出了违反公理的结

    论。也说明了谷山志村猜想证明有错误。

    好比说浙江省属于中国,杭州市属于浙江省,但是,杭州市不属于中国。

            

               

              六,概念的属性取决于当时的语境


      顺便说一句,一个词项是什么概念,取决于当时的语境,例如:

    1,“费马大定理是很着名的数学问题”。这里的“费马大定理”属于

    单独概念。

    2,“费马大定理是说n=3,4,5,...时没有整数解”。这里的“费马

    大定理”指集合概念。


      还有,费马大定理是无穷多个定理的集合,(n=2时叫做勾股定理)

    n=3时是一个定理,n=4时是一个定理,....。而不会有一个总定理,就

    是说没有一个集合概念的总定理。这是因为证实的局限性,证实只能增

    加一个可信度,而不能证明整个理论的正确性。看到了康托尔的厉害了

    吗?他认为无穷是有级别的。数学只能证明最低级别的无穷。

        

    从费马大定理的被认可,我们看到了整个国际数学界思维混乱,数学界

    群体缺乏基本的逻辑训练,导致了数学在错误道路上运行。总之,重大

    数学问题不能由几个所谓“大师”说了算,必须由数学家逻辑学家语言

    学家共同鉴定。

           

            七,给安德鲁怀尔斯鉴定的法尔廷斯也是错误的


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    莫德尔猜想与费马大定理也不是等价关系,由莫德尔猜想推不出全称

    判断的费马大定理,所以,法尔廷斯推出特称判断的结论:费马曲线 

    x^n+y^n=1,(n>3)上只有有限个有理点。”只有有限个有理点”  

    是一个特称判断,表现形式为:“有些A是B”。而一个数学定理要求:

    “一切A是B”。所以,法尔廷斯的结论不是一个定理,他的工作只是一

    个有意义的探索,对于解决问题没有任何作用。我们看到,许许多多的

    错误结论获得了菲尔兹奖。

      为什么法尔廷斯的结论是错误的?

      原因是:我们首先需要知道有理点是 “有” 还是 “无”,法尔

    廷斯也不知道,他是说:我也不知道有没有这个有理点,我只能假定它

    ,如果有,也是有限的。

    现在明白了法尔廷斯的错误在哪里吗?

      他犯了预期理由的错误:“假定费马曲线存在有理点”,就是引

    入了一个“加定存在”的非逻辑前提,这个错误使得后面的结论没有任

    何效力。

      因为数学证明严禁引入非逻辑前提。

    假定a成立,可以推出b,得到c,c与a矛盾,所以假定的a不能成立,得

    到非a。

    3,为什么“假定”只能用于否定的结论,而不能用于肯定的结论?


        一个对科学理论更强的逻辑制约因素是,它们是能够被证

    伪的。换一句话说,因为以后能够被观测作有意义的检验,理论一定有

    被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原

    因在于证实的内在局限性,证实只能增加一个理论的可信度,却不能证

    明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻,总是会发现与理论

    有冲突的事例。

      


    数学不能放纵自己,数学要守规矩,数学必须自律。

    最近几十年,数论成果大爆炸,实际上是错误信息大爆炸,数论成果

    是不会大爆炸的,因为,数论知识的产生成本是非常高的,数论存在了

    2000多年,成果就是这么一点点,以至于一个学习数论的学者都不可能

    错过任何知识。


    八,结果

    2016年我写信给证明费马大定理的团队,其中有普林斯顿大学【数学

    年刊】,肯黎贝,泰勒,牛津大学数学机构。2017年,安德鲁怀尔斯

    得知自己错误以后的照片,表情充满忧虑。显然,安德鲁怀尔斯已经

    接到消息,得知自己的错误,于是出现了这张充满忧虑的照片。

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